Движение тел с разной массой

Билет 8. Движение тел с переменной массой

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского.

Движение тел с переменной массойдвижение при котором тело может приобретать ускорение не за счёт внешних сил, а за счёт изменения массы.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Реактивная сила – это сила упругости, действующая на тело со стороны отбрасываемых им масс.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса ракеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv( dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dmгазvгаз –масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm­газvгаз-mv = Fdt

Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dmгаз=0 и vотн=vгазv есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

m(dv/dt) =vотн(dm/dt) + F (1)

Уравнение Мещерского:

M dv/ dt = F – m vотн

Источник

Уравнение движения тел с переменной массой

Й и 3-й з-ны Ньютона

Второй закон Ньютона — основной за­кон динамики поступательного движе­ния — отвечает на вопрос, как изменяет­ся механическое движение материальной точки (тела) под действием приложен­ных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всег­да прямо пропорционально равнодейст­вующей приложенных сил:

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно:

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учи­тывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона:ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точ­ки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

a = F/m,

F = ma = mdv/dt (6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

F=(d/dt)(mv). (6.5)

p = mv, (6.6)

численно равная произведению массы ма­териальной точки на ее скорость и име­ющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения)этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

F=dp/dt (6.7)

Это выражение — более общая формули­ровка второго закона Ньютона:скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выраже­ние (6.7) называется уравнением движе­ния материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон(Н): 1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообща­ет ускорение 1 м/с 2 в направлении дейст­вия силы:

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае ра­венства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньюто­на рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго зако­на), так как именно он утверждает су­ществование инерциальных систем отсче­та, в которых только и выполняется урав­нение (6.7).

о механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:если на материальную точку действует одно­временно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускоре­ния можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к су­щественному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу Ft (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу Fn (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона:всякое действие мате­риальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которы­ми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противо­положно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

где F12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F21 — сила, действующая на вторую мате­риальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: так как действующая сила всегда вызыва­ет равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая до­лжна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равен­стве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение.

Читайте также:  Вес ванночки для сварки

Третий закон Ньютона позволяет осу­ществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

6. Импульс. З-н сохр. импульса

Векторная величина p = mv, (6.6) численно равная произведению массы ма­териальной точки на ее скорость и име­ющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения)этой материальной точки.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Это выражение и является законом сохранения импульса:импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справед­лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со­хранения импульса — фундаментальный закон природы.

В механике Галилея — Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ско­рость ее центра масс. Центром масс(или центром инерции)системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе;

Скорость центра масс

Учитывая, что pi =mivi, а

есть импульс р системы, можно написать

p = mvc, (9.2)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравне­ние (9.1), получим

mdvc/dt=F1+ F2+. + Fn, (9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.

Уравнение движения тел с переменной массой

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра­кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени t масса раке­ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm

и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса систе­мы за отрезок времени dt

dp = [(m-dm) (v+dv)+dm (v + u)]- mv,

где и — скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда

dp = mdv + udm

(учли, что dm dv — малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).

Если на систему действуют внешние силы, то dp = Fdt, поэтому

Fdt = mdv + udm,

mdv/dt=Fudm/dt. (10.1)

Fp. Если u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормо­зится.

Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы

ma=F + Fp, (10.2)

которое впервые было выведено И. В.Ме­щерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где

предложил теорию движения ракеты и ос­новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате­лем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая F = 0 и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m. Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского.Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истече­ния и газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.

Источник

Движение тел переменной массы. Реактивное движение

До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.

Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уменьшается по мере расхода топлива (рис. 4.4).

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а её скорость . Спустя dt секунд скорость ракеты увеличится на , а масса уменьшится на величину dm и станет (mdm).

dm — масса сгоревшего топлива, которое покинуло ракету со скоростьюотносительно неё. Изменение импульса системы за время dt можно представить в следующем виде:

.

Слагаемым dm∙dV пренебрежем как малой величиной высшего порядка по сравнению с остальными слагаемыми. Значит

Читайте также:  Вес уличный светодиодный экран

.

Это изменение импульса системы равняется импульсу действующей внешней силы

Полученный результат перепишем в форме уравнения движения

(4.14)

Здесь: слева — произведение массы ракеты на её ускорение,

справа — действующие силы: — внешняя сила,

— реактивная сила.

Реактивная сила возникает потому, что вылетающим продуктам сгорания сообщается относительная скорость . Вначале топливо было в покое относительно ракеты. Затем оно двигалось ускоренно и достигло скорости . Это ускорение обусловлено силой взаимодействия продуктов сгорания с ракетой. Но по третьему закону Ньютона сила действует не только на продукты сгорания, но и на ракету. Это и есть реактивная сила, пропорциональная относительной скорости и секундному расходу топлива .

Уравнение (4.14) называется уравнением движением тела переменной массы. Оно было впервые получено И.В. Мещереным и носит его имя:

(4.15)

где: — реактивная сила.

Теперь посмотрим, как будет двигаться ракета, на которую не действуют никакие внешние силы (= 0). Движение ракеты будем считать прямолинейным и спроецируем уравнение (4.15) на направление её движения:

;

;

. (4.16)

Постоянную интегрирования с найдём из начального условия. Будем считать, что в начальный момент полета — в момент старта — скорость ракеты V(0) = 0, а её масса равна стартовому значению m.

Перепишем (4.16) для этих начальных условий:

Используя этот результат в уравнении (4.16) получим

. (4.17)

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Используя эту формулу, оценим, например, какой должна быть стартовая масса ракеты m, чтобы вывести на околоземную орбиту груз массой m = 10 3 кг.

Первая космическая скорость составляет V = 8 км/с, а относительная скорость истечения продуктов сгорания U — порядка 2 км/с.

кг.

Если скорость истечения U принять равной 1 км/с, то есть вдвое меньше, то стартовая масса ракеты возрастёт до значения кг.

То есть 3 тысячи тонн!

Таково влияние качества ракетного топлива на стартовую массу ракеты.

Лекция 5 «Динамика материальной точки»

1. Движение в неинерциальных системах отсчёта. Силы инерции.

1.1. Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

1.2. Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта.

1.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.

1. Движение в неинерциальных системах отсчёта

Законы Ньютона — основа классической механики — справедливы лишь в инерциальных системах отсчета.

Опытным путем можно установить инерциальность или неинерциальность той или иной конкретной системы.

Но если инерциальность одной системы отсчёта установлена, то, воспользовавшись принципом относительности Галилея, можно создать сколько угодно инерциальных систем. Ведь любая система, движущаяся относительно инерциальной прямолинейно, поступательно и равномерно, тоже является инерциальной.

Отсюда легко сделать вывод, что ускоренно движущаяся или вращающаяся система отсчёта — неинерциальная.

Как в такой — неинерциальной — системе описать движение тела?

В качестве уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта вновь используется уравнение второго закона Ньютона. Но наряду с привычными, знакомыми нам силами, здесь приходиться привлекать совсем новые, необычные силы, которые получили название «силы инерции».

Познакомимся с этими силами, рассматривая движение тела в разных неинерциальных системах отсчёта.

1.1. Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта

Это классическая задача о поведении маятника, прикреплённого к потолку железнодорожного вагона (рис. 5.1). Вагон движется ускоренно. Его ускорение

Маятник, конечно, примет положение, изображённое на рисунке.

При этом на отклонившейся грузик маятника действуют две силы: гравитационная (сила тяжести) и упругая (сила натяжения нити) . Равнодействующая этих двух сил и определит ускорение маятника . Ведь маятник движется вместе с вагоном с ускорением :

Это и есть уравнение движения грузика m, записанное в неподвижной системе отсчёта S, связанной с Землёй.

Теперь рассмотрим это же движение, перейдя в движущийся вагон.

В системе отсчета S’, связанной с вагоном, мы обнаружим необычную картину: маятник отклонился на угол a и застыл неподвижно, хотя на него действует сила

Налицо нарушение всех законов механики: на тело действует сила, а оно остаётся при этом в покое. Создается впечатление, что на шарик действует ещё одна сила , равная , но противоположного направления (рис. 5.2).

Приложим эту силу, и всё становиться на свои места: равнодействующая сил, действующих на тело, равна теперь нулю и тело остаётся в покое. Его скорость V’ и, главное, ускорение a’ относительно вагона (в системе S’) равны нулю.

.

— сила инерции, возникшая в результате ускоренного движения системы отсчёта

. (5.1)

Она равна произведению массы тела на ускорение системы отсчёта . Но направлена сила инерции в сторону, противоположную .

Иногда эту силу называют фиктивной силой инерции, имея в виду её особые свойства. Представим, что при резком торможении вагона, чемодан падает с полки, то есть начинает двигаться ускоренно относительно вагона. Но при этом вы не сможете указать предмет, который подействовал на чемодан и заставил его двигаться с ускорением. У фиктивной силы инерции — силы действия — нет силы противодействия.

1.2. Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта

Перенесём наш маятник на диск, вращающийся с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси (рис. 5.3).

Маятник отклонится от вертикали, двигаясь по окружности радиуса r.

Движение происходит под действием сил тяжести и натяжения нити . Их равнодействующая , направленная по радиусу к центру окружности, обеспечивает центростремительное ускорение .

Читайте также:  Бордоский дог вес максимальный

Легко записать уравнение движения грузика m в неподвижной, инерциальной системе отсчёта S

Теперь перейдём на вращающийся диск и посмотрим на движение маятника в системе отсчёта, вращающейся вместе с диском S’ (рис. 5.4). Мы вновь увидим необычайную картину:

в этой системе отсчёта маятник неподвижен. Но на него, несомненно, действует сила , представляющая собой равнодействующую двух сил и . Во вращающейся, неинерциальной системе отсчёта тело, вопреки второму закону Ньютона, остаётся в покое, несмотря на действие вполне реальной силы . Можно воспользоваться уравнением движения Ньютона и в этом случае, если добавить к системе реально действующих сил ещё одну — силу инерции (рис. 5.4). Теперь равнодействующая всех сил, действующих на тело (вместе с силой инерции) равна нулю. Поэтому тело остаётся в покое и его ускорение тоже равно нулю.

.

. (5.3)

Во вращающейся системе отсчёта грузик маятника оказался в покое в результате действия трёх сил: силы тяжести , упругой силы натяжения нити и силы инерции .

Сила инерции в данном случае называется центробежной.

Центробежная сила равна центростремительной, но направлена по радиусу не к центру вращения, а в противоположную сторону — от центра.

(5.4)

Отметим, что центробежная сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта, зависит от положения этого тела. С увеличением расстояния до оси z, растёт и центробежная сила инерции Fцб. Это особенно хорошо видно, если разместить на вращающемся диске несколько маятников на разных расстояниях от оси вращения (рис. 5.5)

Z

1.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.

Рассмотрим самый простой случай: шарик массой т равномерно движется со скоростью v вдоль радиуса вращающегося диска. Чтобы обеспечить такое движение снабдим шарик направляющим стержнем, по которому он мог бы перемещаться без трения. Нитка, прикрепленная к шарику, позволит ему в радиальном направлении двигаться с постоянной скоростью v (рис. 5.6).

Диск вращается с угловой скоростью w. Опишем движение шарика в неподвижной инерциальной системе отсчёта S(x, y). В этой системе движение шарика складывается из двух движений: равномерного прямолинейного — по радиусу диска со скоростью v и кругового движения с угловой скоростью w.

В результате сложения этих двух движений, шарик будет двигаться по криволинейной траектории — разворачивающейся спирали.

В произвольный момент времени t шарик на расстоянии r от оси вращения будет иметь радиальную скорость v и касательную — тангенциальную скорость, связанную с вращением диска (wr) (рис. 5.7).

Посмотрим, как изменятся эти скорости шарика спустя малое время dt.

Во-первых, вся картина скоростей повернётся на угол da = wdt (рис. 5.7 б). Во вторых, радиальная скорость (оставаясь неизменной по величине — V) получит приращение:

связанное с повтором вектора скорости V на угол da = wdt.

Изменится и тангенциальная скорость. Её изменение по величине определяется тем, что шарик удалится от оси вращения на расстояние dr = Vdt. Поэтому:

Кроме того, эта скорость изменится на величину:

в связи с поворотом вектора этой скорости на угол da.

Проанализировав все эти изменения, придём к выводу, что в радиальном направлении изменение скорости составит величину:

а в тангенциальном:

Разделив эти изменения на промежуток времени dt, получим соответствующие компоненты ускорения:

; (5.8)

. (5.9)

Несложно ответить на вопрос: какие силы обеспечивают эти ускорения?

Центростремительное ускорение создаётся упругой силой натяжения нити (Fц.с. = Fупр. = maц.с. = mw 2 r), направленной по радиусу к оси вращения. Касательное ускорение at поддерживается упругой силой деформированного стержня (= mat = m2wV). Стержень при движении прогибается и действует на шарик с силой, направленной в сторону вращения (рис. 5.8).

Запишем уравнения движения шарика в инерциальной системе отсчёта. Это уравнения второго закона Ньютона для двух движений — вдоль радиуса:

, (5.10)

и в перпендикулярном направлении:

. (5.11)

Теперь посмотрим, как представляется движение этого же шарика наблюдателю, вращающемуся вместе с диском.

Этот наблюдатель видит, что шарик в его вращающейся системе отсчёта движется равномерно и прямолинейно со скоростью = сonst вдоль радиуса диска. Ускорение шарика равно нулю, но при этом на него действует упругая сила натяжения нити Fц.с. = mw 2 r и упругая сила деформированного стержня F = m2wV. Их равнодействующая никак не может быть равна нулю.

Для того, чтобы записать уравнение движения этого тела в неинерциальной системе отсчёта в виде уравнений второго закона Ньютона, к реально действующим упругим силам прибавим две силы инерции (рис. 5.9):

(5.12)

. (5.13)

Теперь и в радиальном и в тангенциальном направлениях суммы сил будут равны нулю, что и объясняет равномерное движение шарика вдоль радиуса.

С первой из сил инерции мы знакомы. Это центробежная сила инерции.

Вторая сила инерции называется силой Кориолиса.

Эти силы можно записать в векторном виде:

.

Подводя итог рассмотрению движений в неинерциальных системах отсчёта, отметим следующие основные моменты.

Ньютоновским уравнением движения можно воспользоваться и в неинерциальных системах отсчёта. Но при этом систему реально действующих сил нужно дополнить силами инерции.

В неинерциальной системе отсчёта, движущейся прямолинейно и поступательно с ускорением , сила инерции равна:

. (5.14)

В неинерциальной системе отсчёта, вращающейся с угловой скоростью w, в общем случае следует ввести две силы инерции:

центробежную , (5.15)

и кориолисову . (5.16)

Лекция 6 «Работа и энергия»

1. Работа и кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Теорема Кёнига.

Источник

Жизненные советы и рекомендации